La paradoja de Banach-Tarski
Imaginad que cogemos una bola maciza. Pero una bola matemática por lo que será totalmente maciza, no como las reales que tienen huecos entre los electrones y el núcleo de los átomos, o vete a saber cómo son de verdad. Vamos, que la bola va a ser el conjunto de puntos
¿Podemos trocear esta bola y con esos trozos formar de nuevos dos bolas (matemáticas) totalmente macizas y del mismo radio? Intuitivamente uno diría que no, pero un matemático podría decir que sí, porque podríamos dividir la bola en infinitos puntos y juntarlos formando 2 bolas del mismo tamaño ya que una bola tiene el mismo número de puntos que 2 bolas
Vale, vale, quizá sea esto un poco de trampa ya que dividimos la bola en infinitos puntos. Pero ¿sería posible hacer lo mismo si dividiésemos la bola en una cantidad finita de partes? Pues esto es lo sorprendente. La paradoja de Banach-Tarski (que en realidad no es una paradoja), dice que sí, exactamente en 8 trozos. Luego 5 de ellos los podremos unir para formar una bola, y con los otros 3, otra bola. Bueno, y repitiendo el proceso, podríamos hacer, 3, 4, 5, 45, 3245 o tantas bolas como quisiéramos. Un par de consideraciones. Alguien podría decir que esto es imposible, porque cada trozo tendría un volumen que sumados darían el volumen de la bola inicial y no podrían sumar nunca el doble. El fallo en este razonamiento, es que esos trozos no van a tener un volumen definido, no todo tiene volumen, al menos, no cualquier conjunto de 3 dimensiones matemático. De hecho, cada uno de los conjuntos serían algo así como nubes densas de puntos.
La paradoja de Berry
Esto es más bien una curiosidad. Imaginad un idioma cualquiera, bueno, en concreto el castellano. El castellano tiene un número finito de palabras (aunque ciertamente muy grande). Así que habrá una cantidad finita de grupos de 14 o menos palabras. Y algunos de estos grupos definirán números. Por ejemplo "cuarenta y dos" es un grupo de 3 palabras que representa al número 42, "nueve por tres" representa al número 27 y así. "Mi número de teléfono" no definiría un número porque depende de quién lo diga, vamos, que solo vamos a considerar números que estén inequívocamente definidos por 14 palabras o menos. Vamos a ver más ejemplos ¿Y el número 387420489? ¿Cuántas palabras necesitamos para definirlo? Pues se podría definir como "trescientos ochenta y siete millones cuatrocientos veinte mil cuatrocientos ochenta y nueve", es decir, con 12 palabras. Pero de hecho lo podríamos haber hecho con tan solo 4: "nueve elevado a nueve".
Vistos ya los ejemplos, volvamos a considerar todos los números que se pueden definir con 14 palabras o menos. Tendremos una cantidad finita (y muy grande) de números, por lo que se deduce que habrán números que no podamos definir con menos de 15 palabras. ¿Cuál será el número más pequeño que no se pueda definir con menos de 15 palabras? No sabemos cual es, pero tiene que haber uno, pero llegamos a un problema porque este número lo podemos definir con las siguientes palabras:"El número más pequeño que no se puede definir con menos de quince palabras".
PAULA PADRINO VILELA 1 BACH A
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