Demostraciones del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras ha merecido la atención de muchos matemáticos, especialmente de la antigüedad. Actualmente están registradas unas 370 demostraciones de este teorema.

a²=b²+c²

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado:

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

Demostraciones geométricas:

Pitágoras

Pitágoras: Una de las demostraciones geométricas más conocidas, a partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad.

a²=b²+c²

Platón: La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

Euclides

Platón

Euclides: La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los elementos de Euclides. El cuadrado del lado que subtiene el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

Demostraciones algebraicas:

Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero sí tanto o más elegantes. Estos son algunas de las más populares:

Vieta

Pappus

Leonardo da Vinci

Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es sufuciente con un triángulo rectángulo. Los triángulos ABC, BCD y ACD son semejantes, por tanto:

                           AB/BC=BC/BD ; AB*BD = BC²

AB/AC =AC/AD; AB*AD = AC²

AB*BD + AB*AD= BC² + AC²

AB² = BC²+AC²

AB (BD + AD) = BC² + AC²

Realizado por: Haoran Tang